直纹曲面
参数表示
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一个直纹螺旋曲面
如果将直纹曲面看作一条连续运动的直线所经过的点, 那么可将曲面表达为一个如下述形式的参数方程:
S
(
t
,
u
)
=
p
(
t
)
+
u
r
(
t
)
{\displaystyle S(t,u)=p(t)+ur(t)\ }
其中
S
(
t
,
u
)
{\displaystyle S(t,u)}
为面上的任意点，
p
(
t
)
{\displaystyle p(t)}
为沿著面上一曲线移动之点，
r
(
t
)
{\displaystyle r(t)}
为随
t
{\displaystyle t}
变动之单位向量。举例来说，如果我们用下列式子
p
(
t
)
=
(
cos
(
2
t
)
,
sin
(
2
t
)
,
0
)
r
(
t
)
=
(
cos
t
cos
2
t
,
cos
t
sin
2
t
,
sin
t
)
{\displaystyle {\begin{aligned}p(t)&=(\cos(2t),\sin(2t),0)\\r(t)&=(\cos t\cos 2t,\cos t\sin 2t,\sin t)\end{aligned}}}
则可得莫比乌斯带。另一种参数表示法为：
S
(
t
,
u
)
=
(
1
−
u
)
p
(
t
)
+
u
q
(
t
)
{\displaystyle S(t,u)=(1-u)p(t)+uq(t)}
其中
p
{\displaystyle p}
及
q
{\displaystyle q}
为两条处于面上之不相交曲线。当
p
(
t
)
{\displaystyle p(t)}
及
q
(
t
)
{\displaystyle q(t)}
以定速沿著二歪斜线移动时，
S
{\displaystyle S}
为一双曲抛物面或是单叶双曲面。
可展曲面
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主条目：可展曲面
可展曲面即为高斯曲率处处为零的曲面。另一种常见的表述方法是，一个可展曲面的每一部分都可以不经压缩或者拉伸而展开成为一个平面。三维欧氏空间中的完备可展曲面一定是直纹曲面。然而，相同前提下的直纹曲面不一定是可展曲面，单叶双曲面便是一例。四维欧氏空间存在不是直纹曲面的可展曲面。