什么是正交矩阵

正交矩阵是线性代数中的一个重要概念。简单来说，一个矩阵是正交矩阵，当它的列向量（或行向量）互相正交，并且每个向量都是单位向量（长度为 1）时。

如果矩阵 QQQ 是一个 n×nn \times nn×n 的方阵，则它是一个正交矩阵当且仅当它满足以下条件：

QTQ=QQT=I

Q^T Q = Q Q^T = I

QTQ=QQT=I

其中：

QTQ^TQT 是矩阵 QQQ 的转置矩阵。III 是 n×nn \times nn×n 的单位矩阵。

换句话说，正交矩阵的转置矩阵等于它的逆矩阵。即：

QT=Q−1

Q^T = Q^{-1}

QT=Q−1

正交矩阵的特性：

向量正交性：

正交矩阵的列向量或行向量彼此正交，即：

qiTqj=0当 i≠j

q_i^T q_j = 0 \quad \text{当} \, i \neq j

qiT​qj​=0当i=j

其中 qiq_iqi​ 和 qjq_jqj​ 是矩阵的第 iii 和第 jjj 列向量。也就是说，矩阵的每一列向量和其他列向量垂直。

向量归一性：

正交矩阵的每一个列向量（或行向量）都是单位向量，即：

qiTqi=1

q_i^T q_i = 1

qiT​qi​=1

即每个向量的长度为 1。

保持长度和角度不变：

正交矩阵的一个重要几何特性是，它保持向量的长度和角度不变。也就是说，如果你将一个向量乘以正交矩阵，它的长度和方向（或角度）不会改变，只会做一个旋转或反射。对于任何向量 vvv：

∥Qv∥=∥v∥

\| Qv \| = \| v \|

∥Qv∥=∥v∥

行列式：

正交矩阵的行列式 det⁡(Q)\det(Q)det(Q) 的值要么是 +1，要么是 -1。具体来说：

如果 det⁡(Q)=1\det(Q) = 1det(Q)=1，那么这个正交矩阵是一个旋转矩阵。如果 det⁡(Q)=−1\det(Q) = -1det(Q)=−1，那么这个正交矩阵是一个反射矩阵。

逆矩阵的性质：

对于正交矩阵 QQQ，其逆矩阵等于它的转置矩阵：

Q−1=QT

Q^{-1} = Q^T

Q−1=QT

正交矩阵的例子：

1. 旋转矩阵：

一个常见的正交矩阵是二维平面上的旋转矩阵。例如，顺时针旋转角度 θ\thetaθ 的二维旋转矩阵为：

Q=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]

Q = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}

Q=[cosθsinθ​−sinθcosθ​]

这个矩阵的转置矩阵和它的逆矩阵相同，因此是一个正交矩阵。

2. 单位矩阵：

单位矩阵是最简单的正交矩阵。单位矩阵的所有对角线元素都是 1，其他元素都是 0，例如：

I=[1001]

I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

I=[10​01​]

它显然满足 IT=II^T = IIT=I 和 ITI=II^T I = IITI=I，因此它是正交矩阵。

正交矩阵的应用：

奇异值分解（SVD）：

在奇异值分解 (SVD) 中，矩阵被分解为三个矩阵的乘积，其中两个矩阵 UUU 和 VVV 都是正交矩阵。SVD 广泛用于数据压缩、机器学习、信号处理等领域。

主成分分析（PCA）：

在 PCA 中，数据矩阵通常通过正交矩阵旋转到新的坐标系，以便找到数据的主要方向或主成分。

QR 分解：

QR 分解是一种将矩阵分解为正交矩阵 QQQ 和上三角矩阵 RRR 的方法。QR 分解常用于求解线性方程组以及特征值问题。

保持长度和角度：

正交矩阵的几何性质使其在旋转、反射以及其他几何变换中非常有用，因为它们可以保持向量的长度和角度不变。

正交矩阵与正交向量的关系：

正交向量指的是两个向量互相垂直。正交矩阵的列向量或行向量彼此正交，因此正交矩阵的列向量形成了一个正交基。

假设有两个向量 xxx 和 yyy，如果它们满足：

xTy=0

x^T y = 0

xTy=0

则这两个向量是正交的。正交矩阵的列或行满足这一性质。

总结：

正交矩阵是线性代数中非常重要的一类矩阵，具有良好的几何性质和数值稳定性。它的转置矩阵等于它的逆矩阵，列向量或行向量彼此正交且归一化。正交矩阵在数据分析、信号处理、机器学习等众多领域中有广泛应用，尤其是在矩阵分解、数据降维等问题中。